无阻尼分析#

当解决无阻尼结构动力学中的特征值问题时，我们可以采用矩阵形式来描述。假设我们有一个线性多自由度系统，其中质量矩阵为 $M$，刚度矩阵为$K$，位移向量为 $X$，加速度向量为 $\ddot{X}$。

步骤1：建立动力学方程

动力学方程可以表示为：

步骤2：物体自由振动为简谐运动

假设自由度 $i$ 的位移$x_i$ 随时间 $t$变化为正弦函数：

步骤3：引入特征值问题

代入简谐振动假设到动力学方程，得到：

化简后得到：

步骤4：解特征值问题

我们要找到特征值 $ω^2$ 和对应的特征向量 $A_i$，使得

成立。这个特征值问题可以通过数值计算方法来求解，从而获得固有频率的平方 $ω^2$ 和对应的振幅$A_i$。